3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ の解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて方程式の解を一つ見つけます。

$x=2$ を代入すると、

$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$ となるので、$x=2$ は方程式の解の一つです。

したがって、$x^3 - x^2 + x - 6$ は $(x-2)$ で割り切れます。

実際に割り算を行うと、

$x^3 - x^2 + x - 6 = (x-2)(x^2 + x + 3)$

となります。

したがって、$x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を満たすには、

$x-2 = 0$ または $x^2 + x + 3 = 0$

であればよいです。

$x-2 = 0$ より $x=2$ が得られます。

$x^2 + x + 3 = 0$ を解くには、解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1$, $b=1$, $c=3$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$

したがって、解は $x = 2, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$2, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$