与えられた3次式 $18x^3 + 3x^2 - 7x - 2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $18x^3 + 3x^2 - 7x - 2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて、与えられた3次式の因数を見つけます。定数項は-2なので、その約数である$\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{2}{9}, \pm \frac{1}{18}$などを$x$に代入して、$18x^3 + 3x^2 - 7x - 2 = 0$となる$x$を探します。

$x = \frac{1}{3}$を代入すると、

$18(\frac{1}{3})^3 + 3(\frac{1}{3})^2 - 7(\frac{1}{3}) - 2 = 18(\frac{1}{27}) + 3(\frac{1}{9}) - \frac{7}{3} - 2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{7}{3} - \frac{6}{3} = \frac{3 - 13}{3} = -\frac{10}{3} \neq 0$

$x = -\frac{1}{2}$を代入すると、

$18(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 - 7(-\frac{1}{2}) - 2 = 18(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} - 2 = -\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + \frac{14}{4} - \frac{8}{4} = \frac{-9+3+14-8}{4} = 0$

したがって、$x = -\frac{1}{2}$は$18x^3 + 3x^2 - 7x - 2 = 0$の解であるため、$2x + 1$は$18x^3 + 3x^2 - 7x - 2$の因数であることがわかります。

次に、多項式除算を行います。

$18x^3 + 3x^2 - 7x - 2$を$2x + 1$で割ると、商は$9x^2 - 3x - 2$となります。

したがって、$18x^3 + 3x^2 - 7x - 2 = (2x + 1)(9x^2 - 3x - 2)$

さらに、$9x^2 - 3x - 2$を因数分解します。

$9x^2 - 3x - 2 = (3x - 2)(3x + 1)$

よって、$18x^3 + 3x^2 - 7x - 2 = (2x + 1)(3x - 2)(3x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x+1)(3x-2)(3x+1)$