$x^4 - 36$ を、係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$x^4 - 36$ を、係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 36$ を因数分解します。

$x^4 - 36 = (x^2)^2 - 6^2$ なので、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いると、

$x^4 - 36 = (x^2 + 6)(x^2 - 6)$

となります。

次に、係数の範囲を考慮して、それぞれの場合で因数分解を完了させます。

* **有理数の範囲:**

$x^2 + 6$ も $x^2 - 6$ も有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。したがって、有理数の範囲での因数分解は

$(x^2 + 6)(x^2 - 6)$

となります。

* **実数の範囲:**

$x^2 + 6$ は実数の範囲ではこれ以上因数分解できませんが、$x^2 - 6$ は $x^2 - (\sqrt{6})^2$ と見なせるので、再び和と差の積の公式を用いると、

$x^2 - 6 = (x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6})$

したがって、実数の範囲での因数分解は

$(x^2 + 6)(x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6})$

となります。

* **複素数の範囲:**

$x^2 + 6 = 0$ となる複素数解を求めると、$x = \pm \sqrt{-6} = \pm i\sqrt{6}$ となります。

したがって、$x^2 + 6 = (x + i\sqrt{6})(x - i\sqrt{6})$ と因数分解できます。

よって、複素数の範囲での因数分解は

$(x + i\sqrt{6})(x - i\sqrt{6})(x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6})$

となります。

3. 最終的な答え

有理数: $(x^2 + 6)(x^2 - 6)$

実数: $(x^2 + 6)(x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6})$

複素数: $(x + i\sqrt{6})(x - i\sqrt{6})(x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6})$