与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = 0$ を解き、$x$ の値をカンマ区切りで答える問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = 0$ を解き、$x$ の値をカンマ区切りで答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式の係数を見て、整数解を探します。定数項は -2 なので、整数解の候補は $\pm 1, \pm 2$ です。

$x = 1$ を代入すると、$1 + 2 - 4 - 7 - 2 = -10 \neq 0$ なので、$x = 1$ は解ではありません。

$x = -1$ を代入すると、$1 - 2 - 4 + 7 - 2 = 0$ なので、$x = -1$ は解です。

$x = 2$ を代入すると、$16 + 16 - 16 - 14 - 2 = 0$ なので、$x = 2$ は解です。

$x = -2$ を代入すると、$16 - 16 - 16 + 14 - 2 = -4 \neq 0$ なので、$x = -2$ は解ではありません。

$x = -1$ と $x = 2$ が解なので、$x + 1$ と $x - 2$ は因数です。したがって、$(x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$ も因数です。

$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2$ を $x^2 - x - 2$ で割ると、

\[

\begin{array}{c|ccccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & +3x & +1 \\

\cline{2-6}

x^2-x-2 & x^4 & +2x^3 & -4x^2 & -7x & -2 \\

\multicolumn{2}{r}{x^4} & -x^3 & -2x^2 \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & 3x^3 & -2x^2 & -7x \\

\multicolumn{2}{r}{} & 3x^3 & -3x^2 & -6x \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & x^2 & -x & -2 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & x^2 & -x & -2 \\

\cline{4-6}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\]

したがって、$x^4 + 2x^3 - 4x^2 - 7x - 2 = (x^2 - x - 2)(x^2 + 3x + 1) = (x + 1)(x - 2)(x^2 + 3x + 1) = 0$ となります。

残りの解は、$x^2 + 3x + 1 = 0$ の解です。

解の公式を用いると、

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$$

したがって、4つの解は $-1, 2, \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

-1,2,(-3+√5)/2,(-3-√5)/2