与えられた2次関数 $y = -x^2 - 2x + a$ について、以下の2つの問題を解きます。 (1) $y = -x^2 - 2x + a$ を $y = -(x-p)^2 + q$ の形に変形する。 (2) $-3 \le x \le 0$ の範囲において、$y = -x^2 - 2x + a$ の最小値が $-5$ であるとき、$a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 - 2x + a$ について、以下の2つの問題を解きます。

(1) $y = -x^2 - 2x + a$ を $y = -(x-p)^2 + q$ の形に変形する。

(2) $-3 \le x \le 0$ の範囲において、$y = -x^2 - 2x + a$ の最小値が $-5$ であるとき、$a$ の値を求め、そのときの最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平方完成を行う

与えられた2次関数 $y = -x^2 - 2x + a$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) + a$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + a$

$y = -((x+1)^2 - 1) + a$

$y = -(x+1)^2 + 1 + a$

(2) 最小値が-5のときのaの値を求める

$y = -(x+1)^2 + a + 1$ のグラフは上に凸である。軸は $x = -1$ である。区間 $-3 \le x \le 0$ における最小値を考える。軸 $x=-1$ は区間 $-3 \le x \le 0$ に含まれている。

$x = -3$のとき、 $y = -(-3)^2 - 2(-3) + a = -9 + 6 + a = a - 3$

$x = 0$のとき、 $y = -0^2 - 2(0) + a = a$

$x = -1$のとき、$y = -(-1+1)^2 + a + 1 = a+1$

この関数は、$x = -1$のとき最大値をとり、$x = -3$のとき最小値をとる。よって、$x=-3$の時最小値をとる。

したがって、$a - 3 = -5$。

$a = -5 + 3$

$a = -2$

(3) 最大値を求める

$a = -2$のとき、$y = -(x+1)^2 - 2 + 1 = -(x+1)^2 - 1$

最大値は $x = -1$ のときなので、$y = -(-1+1)^2 - 1 = -1$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -(x+1)^2 + a + 1$

(2) $a = -2$、最大値 $y = -1$