多項式 $-2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ を $3x-1$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $-2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ を $3x-1$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用する。剰余の定理とは、多項式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ であるという定理である。今回は $3x-1$ で割るので、$3x-1=0$ となる $x$ の値、すなわち $x = \frac{1}{3}$ を多項式に代入して計算する。

$P(x) = -2x^3 + 4x^2 - 2x + 1$ とすると、余りは $P(\frac{1}{3})$ で求められる。

$P(\frac{1}{3}) = -2(\frac{1}{3})^3 + 4(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) + 1$

$= -2(\frac{1}{27}) + 4(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3} + 1$

$= -\frac{2}{27} + \frac{4}{9} - \frac{2}{3} + 1$

$= -\frac{2}{27} + \frac{12}{27} - \frac{18}{27} + \frac{27}{27}$

$= \frac{-2+12-18+27}{27}$

$= \frac{19}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{19}{27}$