3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 54 = 0$ が $x = -2$ と $x = 3$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 54 = 0$ が $x = -2$ と $x = 3$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = -2$ と $x = 3$ を方程式に代入して、$a$ と $b$ に関する連立方程式を立てます。

$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 54 = 0$

$-8 + 4a - 2b - 54 = 0$

$4a - 2b = 62$

$2a - b = 31$ ...(1)

$x = 3$ を代入すると、

$(3)^3 + a(3)^2 + b(3) - 54 = 0$

$27 + 9a + 3b - 54 = 0$

$9a + 3b = 27$

$3a + b = 9$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。(1) + (2)より

$2a - b + 3a + b = 31 + 9$

$5a = 40$

$a = 8$

$a = 8$ を(2)に代入すると、

$3(8) + b = 9$

$24 + b = 9$

$b = 9 - 24$

$b = -15$

これで $a$ と $b$ の値が求まりました。次に、与えられた3次方程式は

$x^3 + 8x^2 - 15x - 54 = 0$

と表されます。$x = -2$ と $x = 3$ が解なので、$(x+2)$ と $(x-3)$ を因数に持ちます。したがって、$(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$ で割ることができます。

$x^3 + 8x^2 - 15x - 54 = (x^2 - x - 6)(x+9) = 0$

となるので、他の解は $x = -9$ です。

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = -15$

他の解： $-9$