3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $x = -2$ と $x = 3$ を解にもつとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $x = -2$ と $x = 3$ を解にもつとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

$x = -2$ と $x = 3$ が解であることから、これらを方程式に代入して、$a$ と $b$ に関する連立方程式を作る。

まず、$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 + a(-2)^2 - (-2) + b = 0$

$-8 + 4a + 2 + b = 0$

$4a + b = 6$ ...(1)

次に、$x = 3$ を代入すると、

$(3)^3 + a(3)^2 - (3) + b = 0$

$27 + 9a - 3 + b = 0$

$9a + b = -24$ ...(2)

(2) - (1) より、

$5a = -30$

$a = -6$

(1) に $a = -6$ を代入すると、

$4(-6) + b = 6$

$-24 + b = 6$

$b = 30$

よって、$a = -6$, $b = 30$ である。

元の3次方程式は $x^3 - 6x^2 - x + 30 = 0$ となる。

すでに解として -2 と 3 を知っているので、$x^3 - 6x^2 - x + 30$ は $(x + 2)(x - 3)$ で割り切れる。

$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$ であるから、$x^3 - 6x^2 - x + 30$ を $x^2 - x - 6$ で割ると、

$x^3 - 6x^2 - x + 30 = (x^2 - x - 6)(x - 5)$

したがって、$(x+2)(x-3)(x-5) = 0$ となるので、他の解は $x = 5$ である。

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 30$

他の解: $5$