問題は、定数 $a, b$ を用いて表される以下の3つの $x$ についての不等式を解くことです。 (1) $ax > x + a^2 + a - 2$ (2) $ax + a^2 \ge x + a$ (3) $ax \ge 2x + b$

1. 問題の内容

問題は、定数 $a, b$ を用いて表される以下の3つの $x$ についての不等式を解くことです。

(1) $ax > x + a^2 + a - 2$

(2) $ax + a^2 \ge x + a$

(3) $ax \ge 2x + b$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式を変形します。

$ax > x + a^2 + a - 2$

$ax - x > a^2 + a - 2$

$(a-1)x > (a+2)(a-1)$

次に、$a-1$ の符号によって場合分けをします。

1) $a-1 > 0$ つまり $a > 1$ のとき、$x > \frac{(a+2)(a-1)}{a-1}$ となり、$x > a+2$

2) $a-1 < 0$ つまり $a < 1$ のとき、$x < \frac{(a+2)(a-1)}{a-1}$ となり、$x < a+2$

3) $a-1 = 0$ つまり $a = 1$ のとき、$0 \cdot x > 0$ となり、これを満たす $x$ は存在しません。

(2)

まず、不等式を変形します。

$ax + a^2 \ge x + a$

$ax - x \ge a - a^2$

$(a-1)x \ge a(1-a)$

$(a-1)x \ge -a(a-1)$

次に、$a-1$ の符号によって場合分けをします。

1) $a-1 > 0$ つまり $a > 1$ のとき、$x \ge \frac{-a(a-1)}{a-1}$ となり、$x \ge -a$

2) $a-1 < 0$ つまり $a < 1$ のとき、$x \le \frac{-a(a-1)}{a-1}$ となり、$x \le -a$

3) $a-1 = 0$ つまり $a = 1$ のとき、$0 \cdot x \ge 0$ となり、これはすべての $x$ で成立します。

(3)

まず、不等式を変形します。

$ax \ge 2x + b$

$ax - 2x \ge b$

$(a-2)x \ge b$

次に、$a-2$ の符号によって場合分けをします。

1) $a-2 > 0$ つまり $a > 2$ のとき、$x \ge \frac{b}{a-2}$

2) $a-2 < 0$ つまり $a < 2$ のとき、$x \le \frac{b}{a-2}$

3) $a-2 = 0$ つまり $a = 2$ のとき、$0 \cdot x \ge b$ となります。

このとき、$b \le 0$ ならばすべての $x$ で成立し、$b > 0$ ならば $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

(1)

$a > 1$ のとき、$x > a+2$

$a < 1$ のとき、$x < a+2$

$a = 1$ のとき、解なし

(2)

$a > 1$ のとき、$x \ge -a$

$a < 1$ のとき、$x \le -a$

$a = 1$ のとき、すべての実数

(3)

$a > 2$ のとき、$x \ge \frac{b}{a-2}$

$a < 2$ のとき、$x \le \frac{b}{a-2}$

$a = 2$ のとき、$b \le 0$ ならばすべての実数、$b > 0$ ならば解なし