2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ において、$-3 \le x \le 0$ の範囲での最大値が7であるとき、$a$の値を求め、そのときの最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ において、$-3 \le x \le 0$ の範囲での最大値が7であるとき、$a$の値を求め、そのときの最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4x + a = 2(x^2 + 2x) + a$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + a = 2((x+1)^2 - 1) + a$

$y = 2(x+1)^2 - 2 + a$

したがって、頂点の座標は $(-1, a-2)$ となります。

次に、定義域 $-3 \le x \le 0$ における最大値を考えます。軸 $x = -1$ は定義域に含まれています。

$x=-3$ のとき $y=2(-3)^2 + 4(-3) + a = 18 - 12 + a = 6 + a$

$x=-1$ のとき $y=2(-1)^2 + 4(-1) + a = 2 - 4 + a = -2 + a$

$x=0$ のとき $y=2(0)^2 + 4(0) + a = a$

$x=-3$ と $x=0$ の時の $y$ を比較すると、

$x = -3$ のとき $y = 6+a$, $x=0$ のとき $y=a$ なので、$6+a>a$。

したがって、区間の左端で最大になるのは、$a+6$が最大値となる場合である。頂点を含むので、$x = -3$ で最大になるのは、$6 + a = 7$の時。$x=-3$のとき最大値７をとる。

$6+a = 7$

$a = 1$

このとき、頂点の$y$座標は $a - 2 = 1 - 2 = -1$ となり、$x = 0$ のとき $y = a = 1$。

区間の左端は、$x=-3$で$y=7$

定義域 $-3 \le x \le 0$ の範囲での最小値は、頂点の $y$ 座標であり、$a-2 = 1-2 = -1$ です。

3. 最終的な答え

$a = 1$

最小値 $y = -1$