aを定数とする。2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ ($-3 \le x \le 0$) の最大値が7であるとき、aの値を求め、そのときの最小値yを求めよ。

1. 問題の内容

aを定数とする。2次関数 $y = 2x^2 + 4x + a$ ($-3 \le x \le 0$) の最大値が7であるとき、aの値を求め、そのときの最小値yを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4x + a = 2(x^2 + 2x) + a = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + a = 2(x+1)^2 - 2 + a$

よって、$y = 2(x+1)^2 + a - 2$ となります。

この関数の軸は $x = -1$ です。

定義域は $-3 \le x \le 0$ です。

軸 $x = -1$ は定義域に含まれています。

次に、最大値を考えます。

$x=-3$のとき $y = 2(-3+1)^2+a-2=2(-2)^2+a-2=8+a-2=a+6$

$x=0$のとき $y = 2(0+1)^2+a-2=2+a-2=a$

軸から遠い方が最大値になるので、$x=-3$ のとき $y=a+6$が最大値となり、これが7に等しいので、$a+6=7$。よって $a=1$。

したがって、$y = 2(x+1)^2 - 2 + 1 = 2(x+1)^2 - 1$ となり、$y = 2(x+1)^2 - 1$ の最小値は $x=-1$ のときで、最小値は $y = 2(-1+1)^2 - 1 = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 1$

最小値 $y = -1$