図のような台形ABCDがあり、∠C = ∠D = 90°である。CDを直径とする半円Oが辺ABと点Eで接している。AD = 3, BC = 9のとき、(1)CDの長さを求めよ、(2)斜線部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

図のような台形ABCDがあり、∠C = ∠D = 90°である。CDを直径とする半円Oが辺ABと点Eで接している。AD = 3, BC = 9のとき、(1)CDの長さを求めよ、(2)斜線部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) CDの長さを求める。

まず、点AからBCに垂線を引き、交点をFとする。すると、AFCDは長方形なので、AF = CD、FC = AD = 3となる。

したがって、BF = BC - FC = 9 - 3 = 6となる。

直角三角形ABFにおいて、三平方の定理より、$AB^2 = AF^2 + BF^2$が成り立つ。

また、AB = AE + EBである。円Oの半径をrとすると、CD = 2r、OD = OC = rである。

AE = AD = 3、BE = BC = 9であるから、AB = 3 + 9 = 12である。

したがって、$12^2 = AF^2 + 6^2$より、$144 = AF^2 + 36$、$AF^2 = 108$、$AF = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$となる。

よって、CD = AF = $6\sqrt{3}$である。

(2) 斜線部分の面積を求める。

斜線部分の面積は、台形ABCDの面積から半円Oの面積を引いたものから、三角形ADEの面積を足し、三角形BCEの面積を引いたものとして考えることができる。

台形ABCDの面積は、$\frac{1}{2}(AD + BC) \times CD = \frac{1}{2}(3 + 9) \times 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$である。

半円Oの面積は、$\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (3\sqrt{3})^2 = \frac{1}{2} \pi (27) = \frac{27}{2}\pi$である。

三角形ABEの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times r = \frac{1}{2} \times 12 \times 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$である。

斜線部分の面積は、三角形ABCの面積から扇形OCEを引いたものとして計算する。

三角形ABEの面積は、$\frac{1}{2} * AB * r = \frac{1}{2} * (3+9) * 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$である。

台形の面積から半円の面積を引いた面積は、$36\sqrt{3} - \frac{27}{2}\pi$である。

斜線部分の面積は、台形ABCDの面積から半円の面積を引いた面積から、$36\sqrt{3} - 18\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

求める斜線部分の面積は、三角形ABEの面積 - 半径rの扇形 - 半径rの扇形となる。

三角形ABCの面積 = $\frac{1}{2} \times 12 \times 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$

半円の面積 = $\frac{1}{2} \pi (3\sqrt{3})^2 = \frac{27}{2}\pi$

三角形EBCの面積は、 $\frac{1}{2} \times BE \times CD = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times AB \times 高さ$

$\frac{1}{2}* AB* 高さ = \frac{1}{2}*BE*CD$ なので $\frac{1}{2}*AB* 半径 = 18sqrt{3}$

三角形ABEの面積は $\frac{1}{2}AB*r = 18\sqrt{3}$なので

$18\sqrt{3} - \frac{90}{360}*\pi*r^2$

3. 最終的な答え

(1) $6\sqrt{3}$

(2) $18\sqrt{3} - \frac{9}{2}\pi$