三角形ABCにおいて、$a=8$, $c=7$, $\angle C = 60^\circ$のとき、$b$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=8$, $c=7$, $\angle C = 60^\circ$のとき、$b$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理は、三角形の辺の長さ$a$, $b$, $c$と、角$C$について、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$ が成り立つというものである。

この問題では、$a=8$, $c=7$, $\angle C = 60^\circ$ であるから、

$7^2 = 8^2 + b^2 - 2 \cdot 8 \cdot b \cdot \cos{60^\circ}$

$49 = 64 + b^2 - 16b \cdot \frac{1}{2}$

$49 = 64 + b^2 - 8b$

$b^2 - 8b + 15 = 0$

$(b-3)(b-5) = 0$

$b = 3, 5$

3. 最終的な答え

$b=3, 5$