$BC=18$, $CA=6$ である直角三角形 $ABC$ の斜辺 $AB$ 上に点 $D$ をとる。$D$ から辺 $BC$, $CA$ にそれぞれ垂線 $DE$, $DF$ を下ろす。$\triangle ADF$ と $\triangle DBE$ の面積の合計が最小となるときの線分 $DE$ の長さと、そのときの面積を求めよ。ただし、$DE$ の長さを $x$ とする。

1. 問題の内容

$BC=18$, $CA=6$ である直角三角形 $ABC$ の斜辺 $AB$ 上に点 $D$ をとる。$D$ から辺 $BC$, $CA$ にそれぞれ垂線 $DE$, $DF$ を下ろす。$\triangle ADF$ と $\triangle DBE$ の面積の合計が最小となるときの線分 $DE$ の長さと、そのときの面積を求めよ。ただし、$DE$ の長さを $x$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$ は直角三角形なので、三平方の定理より $AB = \sqrt{BC^2 + CA^2} = \sqrt{18^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$ である。

また、$CA=6$, $BC=18$ より $AC/BC = 6/18 = 1/3$.

$\triangle ADF \sim \triangle DBE \sim \triangle ABC$ であるから、それぞれの三角形の辺の比が等しい。

$DE = x$ より、$DB = DE/\sin B$ である。$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{6\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ なので、$DB = x\sqrt{10}$.

同様に、$DF = AD \sin A = AD * \frac{BC}{AB} = AD * \frac{18}{6\sqrt{10}} = AD * \frac{3}{\sqrt{10}}$ である。

$AD + DB = AB = 6\sqrt{10}$ であるから、$AD = 6\sqrt{10} - x\sqrt{10} = (6-x)\sqrt{10}$.

$DF = (6-x)\sqrt{10} * \frac{3}{\sqrt{10}} = 3(6-x) = 18-3x$.

$\triangle ADF = \frac{1}{2} \times AD \times DF = \frac{1}{2} \times (6-x)\sqrt{10} \times 3(6-x) = \frac{3\sqrt{10}}{2} (6-x)^2$.

$\triangle DBE = \frac{1}{2} \times DB \times DE = \frac{1}{2} \times x\sqrt{10} \times x = \frac{\sqrt{10}}{2} x^2$.

面積の合計を $S$ とすると、

$S = \triangle ADF + \triangle DBE = \frac{3\sqrt{10}}{2} (6-x)^2 + \frac{\sqrt{10}}{2} x^2 = \frac{\sqrt{10}}{2} (3(36 - 12x + x^2) + x^2) = \frac{\sqrt{10}}{2} (108 - 36x + 3x^2 + x^2) = \frac{\sqrt{10}}{2} (4x^2 - 36x + 108) = 2\sqrt{10}x^2 - 18\sqrt{10}x + 54\sqrt{10}$.

これを平方完成すると、

$S = 2\sqrt{10}(x^2 - 9x) + 54\sqrt{10} = 2\sqrt{10}(x - \frac{9}{2})^2 - 2\sqrt{10} \times \frac{81}{4} + 54\sqrt{10} = 2\sqrt{10}(x - \frac{9}{2})^2 - \frac{81\sqrt{10}}{2} + \frac{108\sqrt{10}}{2} = 2\sqrt{10}(x - \frac{9}{2})^2 + \frac{27\sqrt{10}}{2}$.

$x = \frac{9}{2} = 4.5$ のとき、$S$ は最小となる。このときの面積は $\frac{27\sqrt{10}}{2}$ である。

3. 最終的な答え

線分DEの長さ: $\frac{9}{2}$

面積: $\frac{27\sqrt{10}}{2}$