平面上に三角形ABCと点Pがあり、$2\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{BP} - 4\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ を満たすとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表し、直線APと直線BCの交点をQとするとき、Qが線分APをどのように内分するかを求め、最後に三角形PQCの面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める。

1. 問題の内容

平面上に三角形ABCと点Pがあり、$2\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{BP} - 4\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ を満たすとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表し、直線APと直線BCの交点をQとするとき、Qが線分APをどのように内分するかを求め、最後に三角形PQCの面積が三角形ABCの面積の何倍になるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形して $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表す。

$2\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{BP} - 4\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$

$2\overrightarrow{AP} - 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) - 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

$2\overrightarrow{AP} - 3\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AB} - 4\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$-5\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}$

$5\overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$

したがって、$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$となる。

次に、点Qが直線AP上にあるので、実数kを用いて $\overrightarrow{AQ} = k\overrightarrow{AP}$と表せる。

$\overrightarrow{AQ} = k(\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}) = \frac{3k}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4k}{5}\overrightarrow{AC}$

点Qは直線BC上にもあるので、$\frac{3k}{5} + \frac{4k}{5} = 1$が成り立つ。

$\frac{7k}{5} = 1$

$k = \frac{5}{7}$

したがって、$\overrightarrow{AQ} = \frac{5}{7}\overrightarrow{AP}$ となるので、Qは線分APを7:2に内分する。

また、$\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$であり、点Qは直線BC上にあるので、$BQ:QC = 4:3$となる。したがって、$QC = \frac{3}{7}BC$となる。

三角形ABCの面積をSとすると、三角形AQCの面積は、$\frac{3}{7}S$となる。

三角形APQの面積と三角形AQPの面積の比は $AP:AQ = 7:5$だから、三角形APQの面積は $\frac{5}{7} \times \frac{3}{7}S = \frac{15}{49}S$

三角形PQCの面積は三角形AQCの面積から三角形APQの面積を引いて、

$(\frac{3}{7} - \frac{15}{49})S = (\frac{21}{49} - \frac{15}{49})S = \frac{6}{49}S$

したがって、三角形PQCの面積は三角形ABCの面積の $\frac{6}{49}$倍である。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$

Qは線分APを7:2に内分する。

三角形PQCの面積は三角形ABCの面積の $\frac{6}{49}$ 倍である。