$BC = 18$, $CA = 6$である直角三角形$ABC$の斜辺$AB$上に点$D$をとる。$D$から辺$BC$, $CA$にそれぞれ垂線$DE$, $DF$を下ろす。$\triangle ADF$と$\triangle DBE$の面積の合計が最小となるときの線分$DE$の長さと、そのときの面積を求めよ。

1. 問題の内容

$BC = 18$, $CA = 6$である直角三角形$ABC$の斜辺$AB$上に点$D$をとる。$D$から辺$BC$, $CA$にそれぞれ垂線$DE$, $DF$を下ろす。$\triangle ADF$と$\triangle DBE$の面積の合計が最小となるときの線分$DE$の長さと、そのときの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$DE = x$とおき、$\triangle DBE$と$\triangle ADF$の面積をそれぞれ$x$で表すことを考える。

$\triangle ABC$において、$AB = \sqrt{BC^2 + CA^2} = \sqrt{18^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$である。

$\triangle ABC$と$\triangle DBE$は相似である。

よって、$DE : BE = AC : AB$より、$x : BE = 6 : 6\sqrt{10}$なので、$BE = \sqrt{10}x$となる。

$\triangle ABC$と$\triangle ADF$も相似である。

$AD = AB - BD$であり、$BD = \sqrt{DE^2 + BE^2} = \sqrt{x^2 + (\sqrt{10}x)^2} = \sqrt{11x^2} = \sqrt{11}x$となる。

よって、$AD = 6\sqrt{10} - \sqrt{11}x$である。

また、$DF : AD = BC : AB$より、$DF : (6\sqrt{10} - \sqrt{11}x) = 18 : 6\sqrt{10}$なので、$DF = \frac{18}{6\sqrt{10}}(6\sqrt{10} - \sqrt{11}x) = \frac{3}{\sqrt{10}}(6\sqrt{10} - \sqrt{11}x) = 18 - \frac{3\sqrt{11}}{\sqrt{10}}x$となる。

$\triangle DBE$の面積は$\frac{1}{2} \times BE \times DE = \frac{1}{2} \times \sqrt{10}x \times x = \frac{\sqrt{10}}{2}x^2$である。

$\triangle ADF$の面積は$\frac{1}{2} \times AD \times DF = \frac{1}{2} \times (6\sqrt{10} - \sqrt{11}x) \times (18 - \frac{3\sqrt{11}}{\sqrt{10}}x) = \frac{1}{2} (108\sqrt{10} - 18\sqrt{11}x - \frac{18\sqrt{11}}{\sqrt{10}}x + \frac{33}{\sqrt{10}}x^2) = 54\sqrt{10} - 9\sqrt{11}x - \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{10}}x + \frac{33}{2\sqrt{10}}x^2$である。

$\triangle ADF + \triangle DBE = \frac{\sqrt{10}}{2}x^2 + 54\sqrt{10} - 9\sqrt{11}x - \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{10}}x + \frac{33}{2\sqrt{10}}x^2 = 54\sqrt{10} - 9\sqrt{11}x - \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{10}}x + (\frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{33}{2\sqrt{10}})x^2 = 54\sqrt{10} - 9\sqrt{11}x - \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{10}}x + (\frac{10 + 33}{2\sqrt{10}})x^2 = 54\sqrt{10} - 9\sqrt{11}x - \frac{9\sqrt{11}}{\sqrt{10}}x + \frac{43}{2\sqrt{10}}x^2$

$AC : BC = 6 : 18 = 1 : 3$より、$DE : DF = 1 : 3$なので、$DF = 3DE = 3x$となる。

よって、$AD : BD = CA : BC = 6 : 18 = 1 : 3$である。

$AD = \frac{1}{4}AB = \frac{1}{4} \times 6\sqrt{10} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$である。

$BD = \frac{3}{4}AB = \frac{3}{4} \times 6\sqrt{10} = \frac{9\sqrt{10}}{2}$である。

$DF = \frac{BC}{AB} AD = \frac{18}{6\sqrt{10}} \times \frac{3\sqrt{10}}{2} = \frac{3}{\sqrt{10}} \times \frac{3\sqrt{10}}{2} = \frac{9}{2}$

$DE = \frac{AC}{AB} BD = \frac{6}{6\sqrt{10}} \times \frac{9\sqrt{10}}{2} = \frac{1}{\sqrt{10}} \times \frac{9\sqrt{10}}{2} = \frac{9}{2}$

面積の合計は $\frac{1}{2} \times AD \times DF + \frac{1}{2} \times BE \times DE = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{10}}{2} \times \frac{9}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{9\sqrt{10}}{2} \times \frac{9}{2} = \frac{27\sqrt{10}}{8} + \frac{81\sqrt{10}}{8} = \frac{108\sqrt{10}}{8} = \frac{27\sqrt{10}}{2}$

$DE = \frac{9}{2}$

$\triangle ADF$と$\triangle DBE$の面積の和を$S$とすると、

$S = \frac{1}{2}AD \cdot DF + \frac{1}{2}BD \cdot DE = \frac{1}{2}AD \cdot 3x + \frac{1}{2}BD \cdot x = \frac{1}{2}(3AD + BD)x = \frac{1}{2}(3\frac{1}{4}AB + \frac{3}{4}AB)x = \frac{1}{2}(\frac{3}{4}AB + \frac{3}{4}AB)x = \frac{3}{4}ABx$

$x = DE$とおくと、$AD = \frac{AC}{BC} \cdot AB = 3$

$BD = \frac{3\sqrt{10}}{2}$

面積を最小にする$DE$は$\frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$DE$の長さ: $\frac{9}{2}$

面積: $\frac{27}{2}$