三角形ABCの重心をGとする。$\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c}$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{BG}$ を $\vec{a}, \vec{c}$ を用いて表せ。 (2) BP : PA = 2 : 3 となる点Pを辺AB上にとり、直線PGと直線BCが交わる点をQとする。$\vec{BQ}$ を $\vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCの重心をGとする。$\vec{BA} = \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{BG}$ を $\vec{a}, \vec{c}$ を用いて表せ。

(2) BP : PA = 2 : 3 となる点Pを辺AB上にとり、直線PGと直線BCが交わる点をQとする。$\vec{BQ}$ を $\vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{BG}$ を求める。重心Gは、$\vec{AG} = \frac{1}{3} (\vec{AB} + \vec{AC})$ を満たす。

$\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BG}$ より、$\vec{BG} = \vec{AG} - \vec{AB} = \frac{1}{3} (\vec{AB} + \vec{AC}) - \vec{AB} = \frac{1}{3} \vec{AC} - \frac{2}{3} \vec{AB}$

$\vec{AB} = -\vec{a}$

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{a} + \vec{c}$

$\vec{BG} = \frac{1}{3} (-\vec{a} + \vec{c}) - \frac{2}{3} (-\vec{a}) = \frac{1}{3} \vec{c} + \frac{1}{3} \vec{a}$

よって、

$\vec{BG} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c}$

(2)

点Pは辺AB上にあり、BP : PA = 2 : 3 なので、

$\vec{BP} = \frac{2}{5} \vec{BA} = \frac{2}{5} \vec{a}$

点Qは直線BC上にあるので、$\vec{BQ} = k \vec{BC} = k \vec{c}$ (kは実数) とおくことができる。

点P, G, Qは一直線上にあるので、$\vec{PQ} = l \vec{PG}$ (lは実数) とおくことができる。

$\vec{PQ} = \vec{BQ} - \vec{BP} = k \vec{c} - \frac{2}{5} \vec{a}$

$\vec{PG} = \vec{BG} - \vec{BP} = (\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c}) - \frac{2}{5} \vec{a} = (\frac{1}{3} - \frac{2}{5}) \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c} = -\frac{1}{15} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c}$

よって、$k \vec{c} - \frac{2}{5} \vec{a} = l (-\frac{1}{15} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c})$

$k \vec{c} - \frac{2}{5} \vec{a} = -\frac{l}{15} \vec{a} + \frac{l}{3} \vec{c}$

$\vec{a}, \vec{c}$ は一次独立なので、

$-\frac{2}{5} = -\frac{l}{15}$

$k = \frac{l}{3}$

より、$l = 6$

よって、$k = \frac{6}{3} = 2$

$\vec{BQ} = 2 \vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{BG} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c}$

(2) $\vec{BQ} = 2\vec{c}$