与えられた置換 $p$ と $q$ について、積 $pq$ と $qp$ を求めます。問題は2つの部分に分かれています。 (1) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $q = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $q = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換 $p$ と $q$ について、積 $pq$ と $qp$ を求めます。問題は2つの部分に分かれています。

(1) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $q = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, $q = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

置換の積を計算するには、右側の置換から適用し、次に左側の置換を適用します。

(1)

$pq$ を計算する：

$1 \xrightarrow{q} 2 \xrightarrow{p} 4$

$2 \xrightarrow{q} 4 \xrightarrow{p} 1$

$3 \xrightarrow{q} 1 \xrightarrow{p} 3$

$4 \xrightarrow{q} 3 \xrightarrow{p} 2$

したがって、$pq = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$qp$ を計算する：

$1 \xrightarrow{p} 3 \xrightarrow{q} 1$

$2 \xrightarrow{p} 4 \xrightarrow{q} 3$

$3 \xrightarrow{p} 2 \xrightarrow{q} 4$

$4 \xrightarrow{p} 1 \xrightarrow{q} 2$

したがって、$qp = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

(2)

$pq$ を計算する：

$1 \xrightarrow{q} 2 \xrightarrow{p} 4$

$2 \xrightarrow{q} 5 \xrightarrow{p} 1$

$3 \xrightarrow{q} 1 \xrightarrow{p} 3$

$4 \xrightarrow{q} 4 \xrightarrow{p} 2$

$5 \xrightarrow{q} 3 \xrightarrow{p} 5$

したがって、$pq = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

$qp$ を計算する：

$1 \xrightarrow{p} 3 \xrightarrow{q} 1$

$2 \xrightarrow{p} 4 \xrightarrow{q} 4$

$3 \xrightarrow{p} 5 \xrightarrow{q} 3$

$4 \xrightarrow{p} 2 \xrightarrow{q} 5$

$5 \xrightarrow{p} 1 \xrightarrow{q} 2$

したがって、$qp = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$pq = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$qp = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

(2)

$pq = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

$qp = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$