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3次方程式 $x^3 - 5x^2 + 6x - 2 = 0$ を解く。

代数学3次方程式因数分解解の公式二次方程式
2025/6/25

1. 問題の内容

3次方程式 x3−5x2+6x−2=0x^3 - 5x^2 + 6x - 2 = 0 を解く。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探す。方程式の定数項は-2なので、候補は±1, ±2である。
x=1x=1 を代入すると、
13−5(1)2+6(1)−2=1−5+6−2=01^3 - 5(1)^2 + 6(1) - 2 = 1 - 5 + 6 - 2 = 0
したがって、x=1x=1 は解の一つである。
次に、与式を x−1x-1 で割る。
```
x^2 - 4x + 2
x-1 | x^3 - 5x^2 + 6x - 2
x^3 - x^2
----------------
-4x^2 + 6x
-4x^2 + 4x
----------------
2x - 2
2x - 2
----------------
0
```
したがって、x3−5x2+6x−2=(x−1)(x2−4x+2)x^3 - 5x^2 + 6x - 2 = (x-1)(x^2 - 4x + 2) と因数分解できる。
次に、x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0 を解く。
これは2次方程式なので、解の公式を用いる。
x=−b±b2−4ac2a=−(−4)±(−4)2−4(1)(2)2(1)=4±16−82=4±82=4±222=2±2x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}
したがって、x=2+2,2−2x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}

3. 最終的な答え

x=1,2+2,2−2x=1, 2+\sqrt{2}, 2-\sqrt{2}

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