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3次方程式 $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$ を解きなさい。

代数学3次方程式因数定理因数分解二次方程式
2025/6/25

1. 問題の内容

3次方程式 x3+4x2+x−6=0x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0 を解きなさい。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を用いて方程式の解を探します。
x=1x=1 を代入すると、
13+4(1)2+1−6=1+4+1−6=01^3 + 4(1)^2 + 1 - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0
となるので、x=1x=1 は解の一つです。したがって、x−1x-1 は因数となります。
次に、x3+4x2+x−6x^3 + 4x^2 + x - 6 を x−1x-1 で割ります。
```
x^2 + 5x + 6
x - 1 | x^3 + 4x^2 + x - 6
-(x^3 - x^2)
----------------
5x^2 + x
-(5x^2 - 5x)
----------------
6x - 6
-(6x - 6)
----------------
0
```
よって、x3+4x2+x−6=(x−1)(x2+5x+6)x^3 + 4x^2 + x - 6 = (x-1)(x^2 + 5x + 6) と因数分解できます。
次に、2次方程式 x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0 を解きます。
これは因数分解できて、(x+2)(x+3)=0(x+2)(x+3) = 0 となります。
したがって、x=−2x=-2 または x=−3x=-3 です。

3. 最終的な答え

x=1,−2,−3x = 1, -2, -3

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