与えられた6つの対数の値を計算する問題です。 (1) $\log_{3}{3^6}$ (2) $\log_{8}{64}$ (3) $\log_{2}{\frac{1}{256}}$ (4) $\log_{\frac{1}{2}}{32}$ (5) $\log_{5}{\sqrt{5}}$ (6) $\log_{4}{\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}$

1. 問題の内容

与えられた6つの対数の値を計算する問題です。

(1) $\log_{3}{3^6}$

(2) $\log_{8}{64}$

(3) $\log_{2}{\frac{1}{256}}$

(4) $\log_{\frac{1}{2}}{32}$

(5) $\log_{5}{\sqrt{5}}$

(6) $\log_{4}{\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_{3}{3^6}$

対数の性質 $\log_{a}{a^x} = x$ を用います。

$\log_{3}{3^6} = 6$

(2) $\log_{8}{64}$

$8^x = 64$ となる $x$ を求めます。

$8^2 = 64$ より、$\log_{8}{64} = 2$

(3) $\log_{2}{\frac{1}{256}}$

$2^x = \frac{1}{256}$ となる $x$ を求めます。

$2^8 = 256$ であるから、$2^{-8} = \frac{1}{256}$

よって、$\log_{2}{\frac{1}{256}} = -8$

(4) $\log_{\frac{1}{2}}{32}$

$(\frac{1}{2})^x = 32$ となる $x$ を求めます。

$(\frac{1}{2})^x = (2^{-1})^x = 2^{-x} = 32 = 2^5$

$-x = 5$ より、$x = -5$

よって、$\log_{\frac{1}{2}}{32} = -5$

(5) $\log_{5}{\sqrt{5}}$

$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$ より、$\log_{5}{\sqrt{5}} = \log_{5}{5^{\frac{1}{2}}}$

対数の性質 $\log_{a}{a^x} = x$ を用います。

$\log_{5}{5^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$

(6) $\log_{4}{\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{3}}} = 4^{-\frac{1}{3}}$

よって、$\log_{4}{\frac{1}{\sqrt[3]{4}}} = \log_{4}{4^{-\frac{1}{3}}}$

対数の性質 $\log_{a}{a^x} = x$ を用います。

$\log_{4}{4^{-\frac{1}{3}}} = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) 2

(3) -8

(4) -5

(5) $\frac{1}{2}$

(6) $-\frac{1}{3}$