与えられた3次方程式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式に整数解が存在するか探します。因数定理を利用し、定数項の約数（±1, ±2, ±4）を代入して方程式が0になるか確認します。

$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 - 4(-2)^2 - 14(-2) - 4 = -8 - 16 + 28 - 4 = 0$

よって、$x = -2$ は方程式の解の一つです。

次に、因数分解を行います。$x = -2$ が解であることから、$x + 2$ を因数に持つことが分かります。与えられた3次式を $x + 2$ で割ります。

$\frac{x^3 - 4x^2 - 14x - 4}{x + 2} = x^2 - 6x - 2$

したがって、与えられた方程式は次のように書き換えることができます。

$(x + 2)(x^2 - 6x - 2) = 0$

次に、2次方程式 $x^2 - 6x - 2 = 0$ を解きます。解の公式を使用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -6$, $c = -2$ なので、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$

したがって、3つの解は $x = -2, 3 + \sqrt{11}, 3 - \sqrt{11}$ です。

3. 最終的な答え

-2, 3+√11, 3-√11