次の式を計算します。 (1) $3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}} \div 3^{\frac{5}{3}}$ (2) $8^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{1}{2}} \div 2$ (3) $\sqrt[3]{7} \times \sqrt{7} \times \sqrt[6]{7}$ (4) $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[12]{2} \div \sqrt[4]{8}$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

(1) $3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}} \div 3^{\frac{5}{3}}$

(2) $8^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{1}{2}} \div 2$

(3) $\sqrt[3]{7} \times \sqrt{7} \times \sqrt[6]{7}$

(4) $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[12]{2} \div \sqrt[4]{8}$

2. 解き方の手順

(1) 指数法則を用いて計算します。$a^m \times a^n = a^{m+n}$と$a^m \div a^n = a^{m-n}$を利用します。

$3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}} \div 3^{\frac{5}{3}} = 3^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{5}{3}}$

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1+2-5}{3} = \frac{-2}{3}$

よって $3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}} \div 3^{\frac{5}{3}} = 3^{-\frac{2}{3}}$

(2) 各項を2の累乗の形に書き換えて計算します。$8=2^3$, $4=2^2$なので、

$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \times \frac{2}{3}} = 2^2$

$4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \times \frac{1}{2}} = 2^1 = 2$

よって、

$8^{\frac{2}{3}} \times 4^{\frac{1}{2}} \div 2 = 2^2 \times 2 \div 2 = 2^2 \times 2^1 \div 2^1 = 2^{2+1-1} = 2^2 = 4$

(3) 各項を7の累乗の形に書き換えて計算します。

$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}$, $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{6}}$なので、

$\sqrt[3]{7} \times \sqrt{7} \times \sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{3}} \times 7^{\frac{1}{2}} \times 7^{\frac{1}{6}} = 7^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}}$

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2+3+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

よって、$\sqrt[3]{7} \times \sqrt{7} \times \sqrt[6]{7} = 7^1 = 7$

(4) 各項を2の累乗の形に書き換えて計算します。

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[12]{2} = 2^{\frac{1}{12}}$

$\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}}$

よって、

$\sqrt[3]{4} \times \sqrt[12]{2} \div \sqrt[4]{8} = 2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{1}{12}} \div 2^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{12} - \frac{3}{4}}$

$\frac{2}{3} + \frac{1}{12} - \frac{3}{4} = \frac{8}{12} + \frac{1}{12} - \frac{9}{12} = \frac{8+1-9}{12} = \frac{0}{12} = 0$

よって、$\sqrt[3]{4} \times \sqrt[12]{2} \div \sqrt[4]{8} = 2^0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $3^{-\frac{2}{3}}$

(2) 4

(3) 7

(4) 1