与えられた3次式 $x^3 - x^2 + x - 6$ を有理数の範囲で因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 - x^2 + x - 6$ を有理数の範囲で因数分解してください。

2. 解き方の手順

1. 因数定理を利用して、与えられた式が $(x - a)$ を因数に持つような有理数 $a$ を探します。定数項が-6であることから、$a$ の候補としては $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ が考えられます。

2. $x = 2$ を代入すると、

$2^3 - 2^2 + 2 - 6 = 8 - 4 + 2 - 6 = 0$

となるため、$x - 2$ は与えられた式の因数であることがわかります。

3. 与えられた式を $x - 2$ で割ります（組立除法または筆算）。

$x^3 - x^2 + x - 6 = (x - 2)(x^2 + x + 3)$

4. 2次式 $x^2 + x + 3$ がさらに因数分解できるかどうかを調べます。判別式 $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$ です。

5. 判別式 $D < 0$ であるため、$x^2 + x + 3$ は実数の範囲で因数分解できません。したがって、有理数の範囲でも因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x - 2)(x^2 + x + 3)$