$x > 1$ のとき、$x + \frac{1}{x-1}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x > 1$ のとき、$x + \frac{1}{x-1}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用します。

まず、$x - 1 > 0$ であることに注意します。

$x + \frac{1}{x-1}$ を変形して、相加平均と相乗平均の関係が使える形にします。

$x - 1$ が現れるように式を変形します。

$x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1$

ここで、$x > 1$ より、$x - 1 > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係より

$\frac{(x-1) + \frac{1}{x-1}}{2} \geq \sqrt{(x-1) \cdot \frac{1}{x-1}} = \sqrt{1} = 1$

したがって、

$(x-1) + \frac{1}{x-1} \geq 2$

よって、

$x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1 \geq 2 + 1 = 3$

等号が成立するのは、$x-1 = \frac{1}{x-1}$ のときです。

$(x-1)^2 = 1$

$x - 1 = \pm 1$

$x = 1 \pm 1$

$x > 1$ より、$x = 2$ です。

3. 最終的な答え

最小値は $3$ で、そのときの $x$ の値は $2$ です。