与えられた式 $9^{\frac{3}{2}} - \sqrt[3]{64} - \log_4 8 + \log_3 \frac{1}{3}$ を計算します。

## 問題1

1. 問題の内容

与えられた式 $9^{\frac{3}{2}} - \sqrt[3]{64} - \log_4 8 + \log_3 \frac{1}{3}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を計算します。

* $9^{\frac{3}{2}} = (9^{\frac{1}{2}})^3 = 3^3 = 27$

* $\sqrt[3]{64} = 4$

* $\log_4 8 = \log_4 (4 \times 2) = \log_4 (4^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}$

* $\log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$

したがって、式は次のようになります。

$27 - 4 - \frac{3}{2} + (-1)$

$= 27 - 4 - \frac{3}{2} - 1$

$= 22 - \frac{3}{2}$

$= \frac{44}{2} - \frac{3}{2}$

$= \frac{41}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{2}$

## 問題2

1. 問題の内容

$\log_2 5, \log_4 36, \log_8 343$ の大小関係を比較し、大きいものから順に並べます。

2. 解き方の手順

各対数の値を評価します。

* $\log_2 5$ : $2^2 = 4$ であり $2^3 = 8$ であるので、$2 < \log_2 5 < 3$ であることがわかります。また、$5$ は $4$ より $8$ に近いので、$\log_2 5$ は $2.x$ くらいの値になると予想できます。

* $\log_4 36$ : $4^2 = 16$ であり $4^3 = 64$ であるので、$2 < \log_4 36 < 3$ であることがわかります。また、$36$ は $16$ より $64$ に近いので、$\log_4 36$ は $2.x$ くらいの値になると予想できます。底を2に変換して計算すると、$\log_4 36 = \frac{\log_2 36}{\log_2 4} = \frac{\log_2 36}{2}$となります。ここで、$36 = 6^2$ であるので、$\log_2 36 = \log_2 6^2 = 2\log_2 6$となり、$\log_4 36 = \log_2 6$と書き換えることができます。$2^2 = 4$であり、$2^3 = 8$であるので、$2 < \log_2 6 < 3$となります。

* $\log_8 343$ : $8^2 = 64$ であり $8^3 = 512$ であるので、$2 < \log_8 343 < 3$ であることがわかります。また、$343$ は $64$ より $512$ に近いので、$\log_8 343$ は $2.x$ くらいの値になると予想できます。$343 = 7^3$であり、$8 = 2^3$であるので、$\log_8 343 = \log_{2^3} 7^3 = \frac{3}{3} \log_2 7 = \log_2 7$と書き換えることができます。$2^2 = 4$であり、$2^3 = 8$であるので、$2 < \log_2 7 < 3$となります。

$\log_2 5, \log_2 6, \log_2 7$ の大小関係は、真数の大小関係と同じであるため、$\log_2 5 < \log_2 6 < \log_2 7$となります。よって、$\log_2 5 < \log_4 36 < \log_8 343$ となります。

3. 最終的な答え

$\log_8 343, \log_4 36, \log_2 5$