2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それぞれのベクトルの大きさ $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ と、なす角 $\theta$ を用いて、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める問題です。 (1) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 45^\circ$ (2) $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 120^\circ$

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が与えられたとき、それぞれのベクトルの大きさ $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ と、なす角 $\theta$ を用いて、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める問題です。

(1) $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 45^\circ$

(2) $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 120^\circ$

2. 解き方の手順

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を用いて計算します。

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ に $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 45^\circ$ を代入します。

$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(2)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ に $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 120^\circ$ を代入します。

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$ であるから、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -4$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$

(2) $-4$