関数 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 6$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 6$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^3 - 9x^2 + 12x - 6) = 6x^2 - 18x + 12$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$6x^2 - 18x + 12 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

よって、$x = 1, 2$

$x=1$ と $x=2$ は極値を取る候補です。$f(x)$ の増減表を作成して、$x=1$と$x=2$ における $f(x)$ の値が極大値か極小値かを判断します。

$f''(x) = 12x - 18$

$f''(1) = 12(1) - 18 = -6 < 0$ なので、$x=1$ で極大値をとります。

$f''(2) = 12(2) - 18 = 6 > 0$ なので、$x=2$ で極小値をとります。

極大値は $f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 6 = 2 - 9 + 12 - 6 = -1$

極小値は $f(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 6 = 16 - 36 + 24 - 6 = -2$

3. 最終的な答え

極大値：$x=1$ のとき $-1$

極小値：$x=2$ のとき $-2$