与えられた積分を計算します。積分は $\int (x+1)(x+3)^2 dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int (x+1)(x+3)^2 dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

したがって、被積分関数は

$(x+1)(x^2+6x+9) = x(x^2+6x+9) + 1(x^2+6x+9) = x^3 + 6x^2 + 9x + x^2 + 6x + 9 = x^3 + 7x^2 + 15x + 9$

よって、

$\int (x+1)(x+3)^2 dx = \int (x^3 + 7x^2 + 15x + 9) dx$

次に、各項を積分します。

$\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4$

$\int 7x^2 dx = \frac{7}{3}x^3$

$\int 15x dx = \frac{15}{2}x^2$

$\int 9 dx = 9x$

したがって、

$\int (x^3 + 7x^2 + 15x + 9) dx = \frac{1}{4}x^4 + \frac{7}{3}x^3 + \frac{15}{2}x^2 + 9x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}x^4 + \frac{7}{3}x^3 + \frac{15}{2}x^2 + 9x + C$