不等式 $\frac{2}{x-2} < 2-x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{2}{x-2} < 2-x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を左辺に移項します。

$\frac{2}{x-2} - (2-x) < 0$

次に、左辺を通分します。

$\frac{2 - (2-x)(x-2)}{x-2} < 0$

$\frac{2 - (2x - 4 - x^2 + 2x)}{x-2} < 0$

$\frac{2 - (4x - 4 - x^2)}{x-2} < 0$

$\frac{2 - 4x + 4 + x^2}{x-2} < 0$

$\frac{x^2 - 4x + 6}{x-2} < 0$

分子 $x^2 - 4x + 6$ を平方完成します。

$x^2 - 4x + 6 = (x-2)^2 - 4 + 6 = (x-2)^2 + 2$

$(x-2)^2 + 2$ は常に正の値を取ります。つまり、$x^2 - 4x + 6 > 0$ です。

したがって、不等式 $\frac{x^2 - 4x + 6}{x-2} < 0$ を満たすためには、分母 $x-2$ が負の値を取る必要があります。

$x-2 < 0$

$x < 2$

ただし、分母が0になることはないので、$x \neq 2$ である必要があります。

したがって、$x < 2$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x < 2$