問題は以下の通りです。 (3) 次の式を簡単にせよ。 (8) $\sin(-\theta)$ (9) $\cos(\theta - \frac{\pi}{2})$ (10) $\tan(\pi - \theta)$ (4) $\theta$が第4象限の角で、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$のとき、次の値を求めよ。 (11) $\sin\theta - \cos\theta$ (12) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(3) 次の式を簡単にせよ。

(8) $\sin(-\theta)$

(9) $\cos(\theta - \frac{\pi}{2})$

(10) $\tan(\pi - \theta)$

(4) $\theta$が第4象限の角で、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$のとき、次の値を求めよ。

(11) $\sin\theta - \cos\theta$

(12) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$

2. 解き方の手順

(3) 式の簡略化

(8) $\sin(-\theta)$

$\sin(-\theta) = -\sin\theta$

(9) $\cos(\theta - \frac{\pi}{2})$

$\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2}-\theta)) = \cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = \sin\theta$

(10) $\tan(\pi - \theta)$

$\tan(\pi - \theta) = \frac{\sin(\pi-\theta)}{\cos(\pi-\theta)} = \frac{\sin\theta}{-\cos\theta} = -\tan\theta$

(4) 問題の解き方

(11) $\sin\theta - \cos\theta$を求める。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$を代入すると、

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$\sin\theta - \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\theta$が第4象限の角なので、$\sin\theta<0$、$\cos\theta>0$。したがって、$\sin\theta - \cos\theta < 0$である。

よって、$\sin\theta - \cos\theta = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

(12) $\sin^3\theta - \cos^3\theta$を求める。

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)$

$= (-\frac{\sqrt{6}}{2})(1 + (-\frac{1}{4})) = (-\frac{\sqrt{6}}{2})(\frac{3}{4}) = -\frac{3\sqrt{6}}{8}$

3. 最終的な答え

(8) $-\sin\theta$

(9) $\sin\theta$

(10) $-\tan\theta$

(11) $-\frac{\sqrt{6}}{2}$

(12) $-\frac{3\sqrt{6}}{8}$